Question

已知函數f（x）=log_ax（a＞0且a≠1），若數列：2，f（a₁），f（a₂），…，f（a_n），2n+4（n∈N^*）成等差數列．
（1）求數列{a_n}的通項a_n；
（2）若a=2，令b_n=a_n•f（a_n），對任意n∈N^*，都有b_n＞f^-1（t），求實數t的取值范圍．

Answer 1

考點：數列的函數特性,對數的運算性質

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）利用等差數列的通項公式即可得出；
（2）利用數列的單調性即可得出．

解答： 解：（1）由2n+4=2+（n+2-1）d，
解得d=2，
∴f（a_n）=2+（n+1-1）•2=2n+2，
∴an=a2n+2．
（2）bn=an•f(an)=(2n+2)a2n+2=(n+1)•22n+3，

bn+1

bn

=

n+2

n+1

•4＞1，
∴{b_n}為遞增數列．
b_n中的最小項為b1=2•25=26，f-1(t)=2t，
∴t＜6．

點評：本題考查了等差數列的通項公式、數列的單調性，屬于基礎題．