Question

若f（x）=2+log₂x，x∈[1，4]，則y=（f（x））²+f（x²）的最大值為

 

．

Answer 1

考點：對數函數的圖像與性質,對數的運算性質

專題：函數的性質及應用

分析：換元轉化y=t²+6t+4，t∈[0，2]根據二次函數性質求解．

解答： 解：∵f（x）=log₂x+2，x∈[1，4]，
∴y=[f（x）]²+f（x²）=（log₂x+2）²+2log₂x=（log₂x）²+6log₂x+4
設t=log₂x則t∈[0，2]
∴y=t²+6t+4=（t+3）²-5，
∴y=t²+6t+4在[0，2]為增函數，
當t=2時，y有最大值，
∴y_max=4+12+4=20
故答案為：20

點評：本題考察了對數函數的性質，二次函數的性質，換元法求解最大值問題，屬于中檔題．