Question

數列滿足．
（1）計算，，，，由此猜想通項公式，并用數學歸納法證明此猜想；
（2）若數列滿足，求證：．

Answer 1

（1）1，，， a_n＝ (n∈N^*)．
（2）運用數學歸納法證明來分為兩步驟來加以證明即可。

試題分析：解：（1）當n＝1時，a₁＝S₁＝2－a₁，∴a₁＝1.
當n＝2時，a₁＋a₂＝S₂＝2×2－a₂，∴a₂＝.                        1分
當n＝3時，a₁＋a₂＋a₃＝S₃＝2×3－a₃，∴a₃＝.
當n＝4時，a₁＋a₂＋a₃＋a₄＝S₄＝2×4－a₄，∴a₄＝.              2分
由此猜想a_n＝ (n∈N^*)．                                     4分
現用數學歸納法證明如下：
①當n＝1時， a₁＝＝1，結論成立．
②假設n＝k（k≥1且k∈N^*）時，結論成立，即a_k＝，那么當n＝k＋1時，
a_k＋1＝S_k＋1－S_k＝2(k＋1)－a_k＋1－2k＋a_k＝2＋a_k－a_k＋1，
∴2a_k＋1＝2＋a_k，∴a_k＋1＝＝＝，故當n＝k＋1時，結論成立，
由①②知猜想a_n＝ (n∈N^*)成立．                                    8分
(2)由(1)知，，．               9分
解法1：當時， 
                10分

．                                12分
解法2：當時，，
                           10分

．              12分
解法3： 當時，                     10分


 
 
．   12分
點評：主要是考查了數列的猜想以及數學歸納法的運用，屬于基礎題。