Question

已知曲線.
(1)若曲線C在點處的切線為，求實數和的值；
(2)對任意實數，曲線總在直線:的上方，求實數的取值范圍.

Answer 1

(1)，，(2)．

試題分析：(1)根據導數幾何意義，所以.因為，所以.因為過點，所以，(2)由題意得：不等式恒成立，恒成立問題一般轉化為最值問題.一是分類討論求函數最小值，二是變量分離為恒成立，求函數最小值.兩種方法都是，然后對實數a進行討論，當時，，所以.當時,由得，不論還是，都是先減后增，即的最小值為，所以.
試題解析：解
（1），                 2分
因為曲線C在點（0，1）處的切線為L：，
所以且.                 4分
解得，                 -5分
（2）法1：
對于任意實數a，曲線C總在直線的的上方，等價于
?x,，都有，
即?x,R，恒成立，                   6分
令，                    7分
①若a=0，則，
所以實數b的取值范圍是；                    8分
②若,，
由得，                    9分
的情況如下：

		0
		0	+
		極小值

                    11分
所以的最小值為，                     12分
所以實數b的取值范圍是；
綜上，實數b的取值范圍是．                   13分
法2：對于任意實數a，曲線C總在直線的的上方，等價于
?x,，都有，即
?x,R，恒成立，                     6分
令，則等價于?，恒成立，
令，則，                    7分
由得，                    9分
的情況如下：

		0
		0	+
		極小值

                    -11分
所以的最小值為，                     12分
實數b的取值范圍是．                      13分