Question

設函數f（x）=lnx-ax+1，其中a為常數．
（1）求函數f（x）的單調區間．
（2）求證：

ln2

22

+

ln3

32

+…+

lnn

n2

＜

2n2-n-1

4(n+1)

(n∈N，n≥2)．

Answer 1

分析：（1）因為f（x）=lnx-ax+1的定義域為（0，+∞），f′(x)=

1

x

-a=

1-ax

x

，再結合a的符號，由導數的性質求函數的單調區間．
（2）當a=1，x=1時，f（x）=lnx-x+1取得最大值f（1）=0，所以當x＞0時，lnx-x+1≤0，即當x＞0時，lnx≤x-1．由此入手能夠證明

ln2

22

+

ln3

32

+…+

lnn

n2

＜

2n2-n-1

4(n+1)

(n∈N，n≥2)．

解答：解：（1）因為f（x）=lnx-ax+1的定義域為（0，+∞），f′(x)=

1

x

-a=

1-ax

x

，
①當a≤0時，f'（x）＞0，所以f（x）的單調遞增區間是（0，+∞）．
②當a＞0時，令f'（x）＞0，解得0＜x＜

1

a

；令f'（x）＜0，解得x＞

1

a

．
故當a＞0時，f（x）的單調遞增區間是(0，

1

a

)，單調遞減區間是(

1

a

，+∞)．
（2）當a=1時，由（1）知，當x=1時，f（x）=lnx-x+1取得最大值f（1）=0，
所以當x＞0時，lnx-x+1≤0，即當x＞0時，lnx≤x-1．
因為n∈N，n≥2，所以lnn²≤n²-1，所以

lnn2

n2

≤

n2-1

n2

=1-

1

n2

，即

lnn

n2

≤

1

2

(1-

1

n2

)，
所以

ln2

22

+

ln3

32

++

lnn

n2

≤

1

2

[(1-

1

22

)+(1-

1

32

)++(1-

1

n2

)]=

1

2

[(n-1)-(

1

22

+

1

32

++

1

n2

)]＜

1

2

[(n-1)-(

1

2×3

+

1

3×4

++

1

n(n+1)

)]=

1

2

[(n-1)-(

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

++

1

n

-

1

n+1

)]=

1

2

[(n-1)-(

1

2

-

1

n+1

)]=

2n2-n-1

4(n+1)

．

點評：本題考查不等式的證明，解題時要認真審題，仔細解答，注意公式的靈活運用．