Question

設拋物線C：y²=2px，AB是過焦點的弦，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），O（0，0），l為準線，給出以下結論：
①4x₁x₂=p²；②以AB為直徑的圓與準線l相離；③；  ④設準線l與x軸交于點N，則FN平分∠ANB；⑤過準線l上任一點M作拋物線的切線，則切點的連線必過焦點．則以上結論正確的是    將正確結論的序號填上去）

Answer 1

【答案】分析：①由題意可設直線AB的方程為x=ky+p，聯立方程消去x可得y²-2pky-p²=0（*），根據方程的根與系數關系可求
②分別過A，B作AP⊥l，BQ⊥l，垂足分別為P，Q，由拋物線的定義可知，AF=AP，BF=BQ，設AB的中點為C，過C作CD⊥l，垂足為D，則CD==，從而可判斷
③由定義可得AF=AP=，BF=BQ=，結合①中的方程的根與系數關系可求
④要證FN平分∠ANB，即∠ANF=∠BNF，根據題意只要證明K_AN=-K_BN，即可
⑤設出切線方程，聯立直線與拋物線方程，根據方程的根與系數關系可求過切點的直線方程，進而可判斷過 焦點
解答：解：由題意可設直線AB的方程為x=ky+p
聯立方程消去x可得y²-2pky-p²=0（*）
則，y₁+y₂=2pk，

∴=
∴  ①正確
分別過A，B作AP⊥l，BQ⊥l，垂足分別為P，Q
由拋物線的定義可知，AF=AP，BF=BQ
設AB的中點為C，過C作CD⊥l，垂足為D，則CD===
即所作圓的圓心C到準線的距離與圓的半徑相等，則以AB為直徑的圓與準線l相切，②錯誤
由于AF=AP=，BF=BQ=
由方程（*）可得，x₁+x₂=k（y₁+y₂）+p=2pk²+p
===
===③錯誤
由題意可知N（），，
∴K_AN+K_BN==
===0
∴K_AN=-K_BN，則可得∠ANF=∠BNF即FN平分∠ANB，④正確
設點M（-），切點分別為E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），從而可得切線的方程為y-m=k（x+）
聯立方程可得ky²-2py+kp²+2pm=0（*）
由題意可得，△=4p²-4k（kp²+2pm）=0即pk²+2mk-p=0
則k₁k₂=-1（k₁，k₂分別為切線ME，MF的斜率）
對應方程（*）可得，
即，F
∴===-
∴過切點EF的直線方程為y-
即=，即直線EF過焦點（），⑤正確
點評：本題主要考查了拋物線的性質的應用，解題的關鍵是靈活利用拋物線的定義進行解題，屬于綜合性試題