Question

設f（x）是定義在[-1，1]上的奇函數，g（x）的圖象與f（x）的圖象關于直線x=1對稱，而當x∈[2，3]時，g（x）=-x²+4x-4．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）對任意x₁，x₂∈[0，1]，且x₁≠x₂，求證：|f（x₂）-f（x₁）|＜2|x₂-x₁|；
（Ⅲ）對任意x₁，x₂∈[0，1]，且x₁≠x₂，求證：|f（x₂）-f（x₁）|≤1．

Answer 1

分析：（I）根據g（x）的圖象與f（x）的圖象關于直線x=1對稱，則f（x+1）=g（1-x）即f（x）=g（2-x），從而可求出-1≤x≤0時函數f（x）的解析式，最后根據奇偶性求出函數在0＜x≤1上的解析式；
（II）當x₁，x₂∈[0，1]且x₁≠x₂時，0＜x₁+x₂＜2，代入解析式進行化簡變形，即可證得結論；
（III）當x₁，x₂∈[0，1]且x₁≠x₂時，0≤x₁²≤1，0≤x₂²≤1∴-1≤x₂²-x₁²≤1即|x₂²-x₁²|≤1，即可證得結論．

解答：解：（Ⅰ）由題意知f（x+1）=g（1-x）?f（x）=g（2-x）
當-1≤x≤0時，2≤2-x≤3，f（x）=-（2-x）²+4（2-x）-4=-x²
當0＜x≤1時，-1≤-x＜0∴f（-x）=-x²，
由于f（x）是奇函數∴f（x）=x²∴f(x)=

-x2(-1≤x≤0) x2(0＜x≤1)

（Ⅱ）當x₁，x₂∈[0，1]且x₁≠x₂時，0＜x₁+x₂＜2，
∴|f（x₂）-f（x₁）|=|x₂²-x₁²|=|（x₂-x₁）（x₂+x₁）|＜2|x₂-x₁|
（Ⅲ）當x₁，x₂∈[0，1]且x₁≠x₂時，0≤x₁²≤1，0≤x₂²≤1，
∴-1≤x₂²-x₁²≤1即|x₂²-x₁²|≤1．∴|f（x₂）-f（x₁）|=|x₂²-x₁²|≤1．

點評：本題主要考查了函數的奇偶性，以及函數的解析式的求解和不等式的證明，同時考查了化簡轉化能力，屬于中檔題．