Question

【題目】已知（m，n為常數），在處的切線方程為．

（Ⅰ）求的解析式并寫出定義域；

（Ⅱ）若，使得對上恒有成立，求實數的取值范圍；

（Ⅲ）若有兩個不同的零點，求證：.

Answer 1

【答案】（Ⅰ），x∈（0，+∞）；（Ⅱ）；（Ⅲ）詳見解析.

【解析】

（Ⅰ）利用導數的幾何意義意義求得m，n的值，根據對數函數的定義得到函數定義域；

（Ⅱ）f（x）在[，1]上的最小值為f（1）＝1，只需t3﹣t2﹣2at+2≤1，即對任意的上恒成立，構造函數m（t），利用導數求出m（t）的最大值，即可求得結論；

（Ⅲ）不妨設x1＞x2＞0，得到g（x1）＝g（x2）＝0，根據相加和相減得到，再利用分析法，構造函數，求出函數單調性和函數的最小值，問題得以證明．

解：（Ⅰ）由f（x）=+nlnx可得，

由條件可得，把x=-1代入x+y=2可得，y=1，

∴，∴m=2，，∴，x∈（0，+∞），

（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）在上單調遞減，∴f（x）在上的最小值為f（1）=1，

故只需t3-t2-2at+2≤1，即對任意的上恒成立，

令，

易求得m（t）在單調遞減，[1，2]上單調遞增，

而，，∴2a≥m（t）max=g（2），∴，即a的取值范圍為

（Ⅲ）∵，不妨設x1＞x2＞0，

∴g（x1）=g（x2）=0，

∴，，相加可得，相減可得，

由兩式易得：；要證，即證明，即證：，需證明成立，令，則t＞1，于是要證明，構造函數，∴，故（t）在（1，+∞）上是增函數，

∴（t）＞（1）=0，∴，故原不等式成立．