Question

【題目】設函數，其中為自然對數的底數，其圖象與軸交于， 兩點，且．

（Ⅰ）求實數的取值范圍；

（Ⅱ）證明： （為函數的導函數）．

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析

【解析】試題分析：（1） 當時， 為上的單調函數與軸交點只有一個或零個，不滿足題意；當時，討論的單調性， 有極小值點，只要保證的極小值小于零，則會滿足題意.（2）注意到為單調增函數，若能證明 且 必有

試題解析：（Ⅰ） ．

若，則，則函數是單調增函數，這與題設矛盾．所以，令，則．

當時， ， 是單調減函數； 時， ， 是單調增函數；

于是當時， 取得極小值．

因為函數的圖象與軸交于兩點， (x1＜x2)，

所以，即．

此時，存在；（或尋找f（0））

存在，

又由在及上的單調性及曲線在R上不間斷，可知為所求取值范圍．

（Ⅱ）因為 兩式相減得．

記，則，

設，則，所以是單調減函數，

則有，而，所以．

又是單調增函數，且，

所以．