Question

設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，直線與軸交于點(diǎn)，若（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)）．
（I）求橢圓的方程；
（II）設(shè)是橢圓上的任意一點(diǎn)，為圓的任意一條直徑（、為直徑的兩個(gè)端點(diǎn)），求的最大值．

Answer 1

（I）橢圓的方程為；
（II）當(dāng)時(shí)，，故

解析試題分析：（I）由題設(shè)知，，， 由，
得．解得．所以橢圓的方程為
（II）方法1：設(shè)點(diǎn)，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/8c/0/jfyra1.png" style="vertical-align:middle;" />的中點(diǎn)坐標(biāo)為，
所以所以

．
因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，所以，即．
因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，即．
故．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/a3/8/hianx1.png" style="vertical-align:middle;" />，所以當(dāng)時(shí)，
法2：由題知圓N: 的圓心為N；則

從而求的最大值轉(zhuǎn)化為求的最大值；
因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，設(shè)點(diǎn)所以，即．
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/2d/2/15o593.png" style="vertical-align:middle;" />,所以；
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/a3/8/hianx1.png" style="vertical-align:middle;" />，所以當(dāng)時(shí)，，故
方法3：①若直線的斜率存在，設(shè)的方程為，
由，解得．因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/db/9/1zk6u2.png" style="vertical-align:middle;" />是橢圓上的任一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，
所以，即．所以
故．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/a3/8/hianx1.png" style="vertical-align:middle;" />，所以當(dāng)時(shí)，，故
②若直線EF的斜率不存在，此時(shí)EF的方程為； 由，解得或. 
不妨設(shè)E(0，3),F(0，1)； 因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，設(shè)點(diǎn)所以，即
所以，故
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/a3/8/hianx1.png" style="vertical-align:middle;" />，所以當(dāng)時(shí)，，故
考點(diǎn)：本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算。
點(diǎn)評：難題，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，主要運(yùn)用了橢圓的幾何性質(zhì)，注意明確焦點(diǎn)軸和a,b,c的關(guān)系。曲線關(guān)系問題，往往通過聯(lián)立方程組，得到一元二次方程，運(yùn)用韋達(dá)定理。本題（2）注意討論直線的斜率存在、不存在兩種情況，易于忽視。熟練進(jìn)行平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，是正確解題的關(guān)鍵。