Question

（2012•合肥一模）如圖，在多面體ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，AA1⊥平面ABC，AA1∥=BB₁，AB=AC=AA₁=

2

2

BC，B₁C₁∥=

1

2

BC．
（1）求證：A₁B₁⊥平面AA₁C；
（2）若D是BC的中點，求證：B₁D∥平面A₁C₁C；
（3）若BC=2，求幾何體ABC-A₁B₁C₁的體積．

Answer 1

分析：（1）根據勾股定理的逆定理，可得AB⊥AC，再由線面垂直的性質得到AB⊥AA₁，從而得到AB⊥平面AA₁C，最后證明四邊形A₁ABB₁是平行四邊形，可得AB∥A₁B₁，，所以A₁B₁⊥平面AA₁C；
（2）利用一組對邊平行且相等，證出四邊形B₁C₁CD是平行四邊形，從而B₁D∥C₁C，再用線面平行的判定定理，即可證出B₁D∥平面A₁C₁C；
（3）連接AD、C₁D，將幾何體ABC-A₁B₁C₁的體積分割成四棱錐C-DAA₁C₁和三棱柱ABD-A₁B₁C₁，則不難用柱體、錐體的體積公式求出它的體積．

解答：解：（1）∵AB=AC=

2

2

BC，∴AB²+AC²=BC²，可得AB⊥AC
又∵AA₁⊥平面ABC，AB?平面ABC，∴AB⊥AA₁
∵AC、AA₁?平面AA₁C，AC∩AA₁=A
∴AB⊥平面AA₁C，
又∵AA₁∥BB₁，且AA₁=BB₁，
∴四邊形A₁ABB₁是平行四邊形，可得AB∥A₁B₁
∴A₁B₁⊥平面AA₁C；
（2）∵B₁C₁∥BC且B₁C₁=

1

2

BC，D為BC中點
∴B₁C₁∥DC且B₁C₁=DC，
∴四邊形B₁C₁CD是平行四邊形，可得B₁D∥C₁C
∵B₁D?平面A₁C₁C，C₁C?平面A₁C₁C
∴B₁D∥平面A₁C₁C；
（3）連接AD、C₁D，
∵AD⊥BC，AA₁⊥BC，且AD、AA₁是平面DAA₁C₁內的相交直線
∴BC⊥平面DAA₁C₁，可得CD是四棱錐C-DAA₁C₁的高
由（1）（2）的證明可知：ABD-A₁B₁C₁是直三棱柱
∴幾何體ABC-A₁B₁C₁的體積為：V=V_{四棱錐C-DAA1C1}+V_{三棱柱ABD-A1B1C1}=

1

3

×(

2

×1)×1+

1

2

×1×1×

2

=

5 2

6

點評：本題給出由一個四棱錐和一個三棱柱組成的幾何體，要求證明線面垂直和線面平行，并且求幾何體體積．著重考查了線面垂直、線面平行的判定與性質和組合幾何體的體積求法等知識，屬于中檔題．