Question

（2011•門頭溝區一模）在△ABC中，a、b、c分別為內角A、B、C的對邊，且a²=b²+c²+bc．
（1）求角A的大小；
（2）若sinB+sinC=1，試判斷△ABC的形狀．

Answer 1

分析：（1）利用余弦定理表示出cosA，把已知的等式變形后代入，求出cosA的值，由A為三角形的內角，利用特殊角的三角函數值即可求出A的度數；
（2）利用正弦定理化簡已知的等式，把A的度數代入，利用特殊角的三角函數值及完全平方公式化簡后，將sinB+sinC=1代入求出sinBsinC的值，與sinB+sinC=1聯立，求出sinB和sinC的值，得到sinB=sinC，由A為鈍角，得到B和C都為銳角，可得B=C，可得三角形為頂角是鈍角的等腰三角形．

解答：解：（1）∵a²=b²+c²+bc，即b²+c²-a²=-bc，
∴由余弦定理得：cosA=

b2+c2-a2

2bc

=-

1

2

，…（2分）
又A為三角形的內角，
則A=120°；…（6分）
（2）由正弦定理化簡已知的等式得：
sin²A=sin²B+sin²C+sinBsinC，…（7分）
把A=120°代入，化簡得：

3

4

=（sinB+sinC）²-sinBsinC，
又sinB+sinC=1①，可得sinBsinC=

1

4

②，
聯立①②，解得：sinB=sinC=

1

2

，…（10分）
由（1）知A=120°，可得0＜B＜90°，0＜C＜90°，
∴B=C，
則△ABC是頂角是鈍角的等腰三角形．           …（12分）

點評：此題考查了解三角形，以及三角形形狀的判斷，涉及的知識有：正弦、余弦定理，完全平方公式的應用，等腰三角形的判定，以及特殊角的三角函數值，正弦、余弦定理很好的建立了三角形的邊角關系，熟練掌握定理是解本題的關鍵．