Question

（本小題滿分14分）
已知數列滿足, ，．
（1）求證：是等比數列
（2）求數列的通項公式
（3）設，且對于恒成立，求的取值范圍

Answer 1

a_n＝3ⁿ＋2(－2)^n－1＝3ⁿ－(－2)^n   ，m≥6

解：（1）由a_n＋1＝a_n＋6a_n－1，a_n＋1＋2a_n＝3(a_n＋2a_n－1) (n≥2)…………… 3分
　　　　　　∵a₁＝5，a₂＝5　　∴a₂＋2a₁＝15……………………… 4分
故數列{a_n＋1＋2a_n}是以15為首項，3為公比的等比數列          …………5分
（2）由（1）得a_n＋1＋2a_n＝5·3ⁿ ……………………………………………… 6分
由待定系數法可得(a_n＋1－3^n＋1)＝－2(a_n－3ⁿ)　……………………………8分
　即a_n－3ⁿ＝2(－2)^n－1 故a_n＝3ⁿ＋2(－2)^n－1＝3ⁿ－(－2)ⁿ             ………9分
（3）由3ⁿb_n＝n(3ⁿ－a_n)＝n[3ⁿ－3ⁿ＋(－2)ⁿ]＝n(－2)ⁿ，∴b_n＝n(－)ⁿ………10分
令S_n＝|b₁|＋|b₂|＋…＋|b_n|＝＋2()²＋3()³＋…＋n()ⁿ
　　 S_n＝()²＋2()³＋…＋(n－1)()ⁿ＋n()^n＋1        …………11分
得S_n＝＋()²＋()³＋…＋()ⁿ－n()ⁿ⁺¹＝－n()ⁿ⁺¹＝2[1－()ⁿ]－n()ⁿ⁺¹
　∴ S_n＝6[1－()ⁿ]－3n()ⁿ⁺¹＜6          ………………13分
要使得|b₁|＋|b₂|＋…＋|b_n|＜m對于n∈N^＊恒成立，只須m≥6   …14分