Question

已知函數f（x）=lnx-ax+a（a∈R），g（x）=x²+2x+m（x＜0）．
（1）討論f（x）的單調性；
（2）若a=0，函數y=f（x）在A（2，f（2））處的切線與函數y=g（x）相切于B（x₀，g（x₀）），求實數m的值．

Answer 1

（1）∵f（x）=lnx-ax+a（a∈R），
∴f′(x)=

1-ax

x

，x＞0，
若a≤0，則f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，+∞）上單調遞增；
若a＞0，則當x∈(0，

1

a

)時，f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，

1

a

）上單調遞增，當x∈（

1

a

，+∞）時，f′（x）＜0，
∴f（x）在∈（

1

a

，+∞）上單調遞減；
（2）當a=0時，f（x）=lnx，f′（x）=

1

x

，
∴f′（2）=

1

2

，
∴函數y=f（x）在A（2，f（2））處的切線方程為y=

1

2

(x-2)+ln2，
又函數y=g（x）在B（x₀，g（x₀））處的切線方程為y=(2x0+2)(x-x0)+x02+2x0+m，
整理得y=(2x0+2)x-x02+m，
由已知得

1 2 =2(x0+1) ln2-1=-x02+m

，
解得x0=-

3

4

，m=-

7

16

+ln2．