Question

已知函數f（x）=ax²-（4a+2）x+4lnx，其中a≥0．
（1）若a=0，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（2）討論函數f（x）的單調性．

Answer 1

解（1）當a=0時，f（x）=-2x+4lnx，
從而f′（x）=-2+

4

x

，其中x＞0．
所以f′（1）=2．
又切點為（1，-2），
所以所求切線方程為y+2=2（x-1），即2x-y-4=0．
（2）因為f（x）=ax²-（4a+2）x+4lnx，
所以f′（x）=2ax-（4a+2）+

4

x

=

2ax2-(4a+2)x+4

x

=

2(ax-1)(x-2)

x

，其中x＞0．
①當a=0時，f′（x）=-

2(x-2)

x

，x＞0．
由f′（x）＞0得，0＜x＜2，所以函數f（x）的單調增區間是（0，2）；單調減區間是（2，+∞）；
②當0＜a＜

1

2

時，因為

1

a

＞2，由f′（x）＞0，得x＜2或x＞

1

a

．
所以函數f（x）的單調增區間是（0，2）和（

1

a

，+∞）；單調減區間為（2，

1

a

）；
③當a=

1

2

時，f′（x）=

(x-2)2

x

≥0，且僅在x=2時，f′（x）=0，
所以函數f（x）的單調增區間是（0，+∞）；
④當a＞

1

2

時，因0＜

1

a

＜2，由f′（x）＞0，得0＜x＜

1

a

或x＞2，
所以函數f（x）的單調增區間是（0，

1

a

）和（2，+∞）；單調減區間為（

1

a

，2）．
綜上，
當a=0時，f（x）的單調增區間是（0，2），單調減區間是（2，+∞）；
當0＜a＜

1

2

時，f（x）的單調增區間是（0，2）和（

1

a

，+∞），減區間為（2，

1

a

）；
當a=

1

2

時，f（x）的單調增區間是（0，+∞）；
當a＞

1

2

時，f（x）的單調增區間是（0，

1

a

）和（2，+∞），減區間為（

1

a

，2）．