Question

拋物線C：y²=4x的焦點為F，A，B是C上的兩點，且AF⊥FB，弦AB中點M在C的準線上的射影為M′，則

|AB|

|MM′|

的最小值為（　　）

• A、

  3

• B、

  2

  2

• C、

  2

• D、

  3

  2

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：設|AF|=a、|BF|=b，由拋物線定義結合梯形的中位線定理，得2|MN|=a+b．再由勾股定理得|AB|²=a²+b²，結合基本不等式求得|AB|的范圍，從而可得

|AB|

|MM′|

的最小值．

解答： 解：設|AF|=a，|BF|=b，A、B在準線上的射影點分別為Q、P，連接AQ、BQ　　
由拋物線定義，得AF|=|AQ|且|BF|=|BP|
在梯形ABPQ中根據中位線定理，得2|MM′|=|AQ|+|BP|=a+b．
由勾股定理得|AB|²=a²+b²，配方得|AB|²=（a+b）²-2ab，
又∵ab≤（

a+b

2

） ²，
∴（a+b）²-2ab≥（a+b）²-2×（

a+b

2

）²=

1

2

（a+b）²
得到|AB|≥

2

2

（a+b）．
所以

|AB|

|MM′|

≥

2 2 (a+b)

1 2 (a+b)

=

2

，即

|AB|

|MM′|

的最小值為

2

．
故選C

點評：本題給出拋物線的弦AB對焦點F所張的角為直角，求AB中點M到準線的距離與AB比值的取值范圍，著重考查了拋物線的定義與簡單幾何性質、梯形的中位線定理和基本不等式求最值等知識，屬于中檔題．