Question

如圖，雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點分別為F₁、F₂，以F₁F₂為直徑的圓O與雙曲線交于A、B、C、D四點，若AB交y軸于點H，圓O與y軸正半軸相交于點P，且

OH

=（3+2

3

）

HP

．
（1）若雙曲線的焦距為2，求雙曲線的方程；
（2）求雙曲線的離心率．

Answer 1

分析：（1）由|F₁F₂|=2可求得P（0，1），設H（0，m），由

OH

=（3+2

3

）

HP

可求得m，從而可求得A點的坐標，代入雙曲線方程，得到a，b的關系式，與a²+b²=1聯立即可求得雙曲線的方程；
（2）設焦距為2c，則P（0，c），設H（0，n），同理可求得（

b

a

）²=3+2

3

?

a2+b2

a2

=

c2

a2

=e²=4+2

3

，從而可得雙曲線的離心率．

解答：解：（1）由|F₁F₂|=2得圓O的半徑為1，故P（0，1），設H（0，m）．
∵

OH

=（3+2

3

）

HP

=（3+2

3

）（0，1-m），
∴m=（3+2

3

）（1-m），解得m=

3

2

，
故A（x，

3

2

），由|OA|=1得x=

1

2

，
∴A（

1

2

，

3

2

）．
∵點A（

1

2

，

3

2

）在雙曲線上，
∴

1

4a2

-

3

4b2

=1，
又∵焦距為2，
∴a²+b²=1，解得a²=1-

3

2

，b²=

3

2

，
故雙曲線的方程為

x2

1- 3 2

-

y2

3 2

=1．
（2）設焦距為2c，則P（0，c），設H（0，n）．
∵

OH

=（3+2

3

）

HP

=（3+2

3

）（0，c-n），
∴n=（3+2

3

）（c-n），解得n=

3

2

c，
即H（0，

3

2

c）．
由A（x₀，

3

2

c）在圓上得x₀=

1

2

c，
∴A（

1

2

c，

3

2

c），
∴將A（

1

2

c，

3

2

c）代入雙曲線方程得

c2

4a2

-

3c2

4b2

=1，
又∵a²+b²=c²，化簡得3a⁴+6a²b²-b⁴=0，
即（

b

a

）⁴-6（

b

a

）²-3=0，
∴（

b

a

）²=3+2

3

，
∴e²=

c2

a2

=1+

b2

a2

=4+2

3

，
故雙曲線的離心率為e=

3

+1．

點評：本題考查雙曲線的標準方程與離心率，考查向量的坐標運算，考查方程思想與綜合分析與運算能力，屬于難題．