Question

如右圖所示，等腰三角形△ABC的底邊AB＝6，高CD＝3，

 

點E是線段BD上異于B、D的動點，點F在BC邊上，且EF⊥AB，現沿EF將△BEF折起到△PEF的位置，使PE⊥AE，記BE＝x，V(x)表示四棱錐P－ACEF的體積．

 (1)求V(x)的表達式；

 (2)當x為何值時，V(x)取得最大值？

 (3)當V(x)取得最大值時，求異面直線AC與PF所成角的余弦值

 

Answer 1

【答案】

(1)由折起的過程可知，PE⊥平面ABC，

S_ΔABC＝9，S_△BEF＝·S_△BDC＝x²，

V(x)＝x(0＜x＜3)．

(2)V′(x)＝，所以x∈(0,6)時，V′(x)＞0 ，V(x)單調遞增；6＜x＜3時V′(x)＜0 ，V(x)單調遞減；因此x＝6時，V(x)取得最大值12；

(3)過F作MF∥AC交AD于M，則

＝＝＝，MB＝2BE＝12，PM＝6，

MF＝BF＝PF＝BC＝＝，

在△PFM中， cos∠PFM＝＝，

∴異面直線AC與PF所成角的余弦值為.

【解析】略