Question

函數f（x）=

1

1+a•2bx

的定義域為R，且

lim

n→∞

f（-n）=0（n∈N*）
（Ⅰ）求證：a＞0，b＜0；
（Ⅱ）若f（1）=

4

5

，且f（x）在[0，1]上的最小值為

1

2

，試求f（x）的解析式；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下記S_n=f（1）+f（2）+…+f（n）（n∈N），試比較S_n與n+

1

2n+1

+

1

2

(n∈N*)的大小并證明你的結論．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由f（x）定義域為R，∴1+a•2^bx≠0，可得a≥0．若若a=0，f（x）=1為定值，與條件矛盾．故可得a＞0，
再由

lim

n→∞

f(-n)=0(n∈N*)來確定b＜0即可．
（Ⅱ）由f(1)=

4

5

可得a和b的一個關系，再由（1）可知知f（x）在[0，1]上為增函數，所以f（x）在[0，1]上的最小值為f（0）=

1

2

，又可得a和b的另一個關系，聯立即可求出a和b．
（Ⅲ）由f（x）的解析式可知，f（n）＜1，所以S_n=f（1）+f（2）+…+f（n）＜n，而n+

1

2n+1

+

1

2

＞n，故可比較大小．

解答：解（Ⅰ）∵f（x）定義域為R，∴1+a•2^bx≠0，即a≠-2^-bx而x∈R，∴a≥0．
若a=0，f（x）=1與

lim

n→∞

f（-n）=0矛盾，∴a＞0，∴

lim

n→∞

f(-n)=

lim

n→∞

1

1+a•2-bx

=

1(0＜2-b＜1) 1 1+a (2-b=1) 0(2-b＞1)

∴2^-b＞1即b＜0，故a＞0，b＜0．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）在[0，1]上為增函數，
∴f（0）=

1

2

，即

1

1+a

=

1

2

，∴a=1，f（1）=

1

1+a•2b

=

4

5

，
∴2^b=

1

4

，∴b=-2，∴f（x）=

1

1+2-2x

=

4x

1+4x

=1-

1

1+4x

．
（Ⅲ）當k∈N*時，S_n＜n+

1

2n+1

+

1

2

，證明如下：
f（k）=1-

1

1-4k

＜1，∴f（1）+f（2）+f（3）++f（n）＜n
而n+

1

2n+1

+

1

2

＞n，∴k∈N*時，S_n＜n+

1

2n+1

+

1

2

點評：本題考查數列的極限及應用、求函數解析式、比較大小等知識，綜合性強．考查邏輯推理能力和運算能力．