Question

已知函數(shù)f（x）=alnx+

1

2

bx2-(a+b)x，
（1）當(dāng)a=1，b=0時(shí)，求f（x）的最大值；
（2）當(dāng)b=1時(shí)，設(shè)α，β是f（x）的兩個(gè)極值點(diǎn)，且α＜β，β∈（1，e]（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．求證：對(duì)任意的x₁，x₂∈[α，β]，|f（x₁）-f（x₂）|＜1．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：本題（1）在條件a=1，b=0下，對(duì)函數(shù)f（x）求導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)值正負(fù)，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出f（x）的最大值，得到本題結(jié)論；（2）先根據(jù)條件α，β是f（x）的兩個(gè)極值點(diǎn)，得到α，β是f′（x）=0的兩個(gè)根，將|f（x₁）-f（x₂）|轉(zhuǎn)化為[f（x）]_max、[f（x）]_min的關(guān)系得到關(guān)于a的函數(shù)，再構(gòu)造新函數(shù)，求出最值，得到本題結(jié)論．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=alnx+

1

2

bx2-(a+b)x，
∴x＞0，f′（x）=

a

x

+bx-(a+b)，
（1）當(dāng)a=1，b=0時(shí)，f′（x）=

1-x

x

，
令f′（x）＞0，得：0＜x＜1，
令f′（x）＜0，得：x＞1．
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞增；在（1，+∞）上單調(diào)遞減，
∴[f（x）]_max=f（1）=-1．
（2）當(dāng)b=1時(shí)，f（x）=alnx+

1

2

x²-（a+1）x，
則f′（x）=

(x-1)(x-a)

x

，
令f′（x）=0，得：x=1或x=a．
∵α，β是f（x）的兩個(gè)極值點(diǎn)，且α＜β，β∈（1，e]，
∴α=1，β=a∈（1，e]，
∴當(dāng)x∈[α，β]時(shí)，f′（x）≤0，即f（x）在[α，β]上單調(diào)遞減，
∴[f（x）]_min=f（a），[f（x）]_max=f（1），
∴|f（x₁）-f（x₂）|≤[f（x）]_max-[f（x）]_min=f（1）-f（a）=

1

2

a2-alna-

1

2

．
令g（a））=

1

2

a2-alna-

1

2

．
則g′（a）=a-1-lna，
由（1）知：lnx-x≤-1，即lnx≤x-1，
即g′（a）≥0，g（a）在（1，e]單調(diào)遞增，
∴g（a）≤g（e）=

1

2

e²-e-

1

2

=e(

1

2

e-1)-

1

2

＜3(

3

2

-1)-

1

2

=1．
∴|f（x₁）-f（x₂）|＜1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)函數(shù)在函數(shù)研究中的應(yīng)用，還考查了構(gòu)造函數(shù)的思想，本題思維難度較大，計(jì)算復(fù)雜，屬于難題．