Question

已知中心在原點，焦點在x軸上的橢圓C的離心率為

1

2

，且經過點(-1，

3

2

)，過點P（2，1）的直線l與橢圓C在第一象限相切于點M．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）求直線l的方程以及點M的坐標；
（Ⅲ）是否存在過點P的直線l₁與橢圓C相交于不同的兩點A，B，滿足

PA

•

PB

=

PM

2？若存在，求直線l₁的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設橢圓C的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1 (a＞b＞0)，由題意解得a²=4，b²=3，故橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）因為過點P（2，1）的直線l與橢圓在第一象限相切，所以l的斜率存在，故可設直線l的方程為y=k（x-2）+1．所以（3+4k²）x²-8k（2k-1）x+16k²-16k-8=0．因為直線l與橢圓相切，所以△=[-8k（2k-1）]²-4（3+4k²）（16k²-16k-8）=0．解得k=-

1

2

．由此可知切點M坐標為(1，

3

2

)．
（Ⅲ）若存在直線l₁滿足條件，設直線l₁的方程為y=k₁（x-2）+1，代入橢圓C的方程得（3+4k₁²）x²-8k₁（2k₁-1）x+16k₁²-16k₁-8=0．設A，B兩點的坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），由△=[-8k₁（2k₁-1）]²-4（3+4k₁²）（16k₁²-16k₁-8）=32（6k₁+3）＞0．知k 1＞-

1

2

．由此可知存在直線l₁滿足條件，其方程為y=

1

2

x．

解答：解：（Ⅰ）設橢圓C的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1 (a＞b＞0)，由題意得

1 a2 + 9 4b2 =1 c a = 1 2 a2=b2+c2.

解得a²=4，b²=3，故橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．（4分）
（Ⅱ）因為過點P（2，1）的直線l與橢圓在第一象限相切，所以l的斜率存在，故可設直線l的方程為y=k（x-2）+1．
由

x2 4 + y2 3 =1 y=k(x-2)+1

得（3+4k²）x²-8k（2k-1）x+16k²-16k-8=0．①
因為直線l與橢圓相切，所以△=[-8k（2k-1）]²-4（3+4k²）（16k²-16k-8）=0．
整理，得32（6k+3）=0．
解得k=-

1

2

．
所以直線l方程為y=-

1

2

(x-2)+1=-

1

2

x+2．
將k=-

1

2

代入①式，可以解得M點橫坐標為1，故切點M坐標為(1，

3

2

)．（9分）
（Ⅲ）若存在直線l₁滿足條件，設直線l₁的方程為y=k₁（x-2）+1，代入橢圓C的方程得（3+4k₁²）x²-8k₁（2k₁-1）x+16k₁²-16k₁-8=0．
因為直線l₁與橢圓C相交于不同的兩點A，B，設A，B兩點的坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），
所以△=[-8k₁（2k₁-1）]²-4（3+4k₁²）（16k₁²-16k₁-8）=32（6k₁+3）＞0．
所以k 1＞-

1

2

．
又x1+x2=

8k1(2k1-1)

3+4 k 2 1

，x1x2=

16 k 2 1 -16k1-8

3+4 k 2 1

，
因為

PA

•

PB

=

PM

2，即(x1-2)(x2-2)+(y1-1)(y2-1)=

5

4

，
所以(x1-2)(x2-2)(1+k12)=|PM|2=

5

4

．
即[x1x2-2(x1+x2)+4](1+k12)=

5

4

，
所以[

16k12-16k1-8

3+4k12

-2

8k1(2k1-1)

3+4k12

+4](1+k12)=

4+4k12

3+4k12

=

5

4

，解得k1=±

1

2

．
因為A，B為不同的兩點，所以k1=

1

2

．
于是存在直線l₁滿足條件，其方程為y=

1

2

x．（13分）

點評：本題考查直線和圓錐曲線的位置關系，解題時要認真審題，仔細解答．