Question

【題目】已知函數是偶函數，且滿足，當時， ，當時， 的最大值為.

（1）求實數的值；

（2）函數，若對任意的，總存在，使不等式恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）2；（2）或

【解析】試題分析：

（1）由題意先求得函數具有性質，于是可得當時， ，利用導數可判斷在上單調遞增，故，根據條件得到．（2）由于“對任意的，總存在，使不等式恒成立”等價于“”，故可將問題轉化為求函數的最大值或其值域．

試題解析：

（1）∵，即，

∴，

∴，

當時， ，

∴當時， ，

∴.

又，

∴恒成立，

∴在上單調遞增，

∴，

令，解得．

∴實數的值為2．

（2）當時， ，

∴，

∴函數在單調遞增，

∴當時， ．

又當時， ，

∴．

①當時， ，函數在區間單調遞增，

∴．

∵對任意的，總存在，使不等式恒成立，

∴

解得；

②當時， ,函數在區間單調遞減，

∴，

同①可得，

解得；

綜上或．

∴實數的取值范圍．