Question

（14分）已知數(shù)列為方向向量的直線上，（I）求數(shù)列的通項公式；（II）求證：（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）；

（III）記

求證：

Answer 1

（Ⅰ）  （Ⅱ）略   （III）略

解析:

由題意， 

     為首項，為公比的等比數(shù)列。   

  （Ⅱ）證明：

      

構造輔助函數(shù)

    單調(diào)遞增， 令則

     

  （III）證明：

   

   

    時，

   

   

    （當且僅當n=1時取等號）。 

    另一方面，當時，

   

   

   

   

    （當且僅當時取等號）。

    （當且僅當時取等號）。綜上所述，有