Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是一直角梯形，∠BAD=90°，AD∥BC，AB=BC=1，AD=2，PA⊥底面ABCD，PD與底面成45°角，點E是PD的中點．
（Ⅰ）求證：BE⊥PD；
（Ⅱ）求二面角P-CD-A的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）要證BE⊥PD，可以通過證明PD⊥面ABE得出．利用BA⊥面PAD得出BA⊥PD，結合△PAD為等腰直角三角形．得出AE⊥PD，能證明PD⊥面ABE．
（Ⅱ）連接AC，，在四邊形ABCD中，先得出∠ACD=90°，結合PA⊥CD，得出∠PCA為二面角P-CD-A的平面角，在RT△PAC中求解即可．

解答：（Ⅰ）證明：連接AE．
∵PA⊥底面ABCD，PD與底面成45°角，
∴∠PDA=45°，△PAD為等腰直角三角形．
∵點E是PD的中點∴AE⊥PD，
PA⊥底面ABCD，PA?面PAD，
∴面PAD⊥底面ABCD，
而面PAD∩底面ABCD=AD，∠BAD=90°，∴BA⊥AD，∴BA⊥面PAD，PD?面PAD，∴BA⊥PD，AE∩BA=A，∴PD⊥面ABE，
BE?面ABE，∴BE⊥PD．


（Ⅱ）解：

連接AC，∠PCA為二面角P-CD-A的平面角．
取AD中點F，連接CF，∠BAD=90°，AB=BC=1，四邊形ABCF是正方形，∠ACF=45°，又AD=2，
∴FD=CF=1，∠FCD=45°，
∴∠ACD=90°，即AC⊥CD．又PA⊥CD，
∴CD⊥面PAC，
∴PC⊥CD，即∠PCA為二面角P-CD-A的平面角．
在RT_△PAC中，AC=

2

，PA=AD=2，PC=

AC2+PA2

=

6

．cos∠PCA=

AC

PC

=

2

6

=

3

3

．所以二面角P-CD-A的余弦值為

3

3

．

點評：本題考查空間直線、平面位置關系的判斷，二面角大小求解，考查空間想象能力、推理論證、計算、轉化能力．