Question

已知函數f(x)=

3

cos2x+2sinx•sin(x+

π

2

)．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期，最大值以及取得最大值時x的集合；
（Ⅱ）若A是銳角△ABC的內角，f（A）=0，b=5，a=7，求△ABC的面積．

Answer 1

（Ⅰ）∵f(x)=

3

cos2x+2sinx•sin(x+

π

2

)=

3

cos2x+2sinx•cosx
=

3

cos2x+sin2x=2sin(2x+

π

3

)，…（4分）
∴f（x）的最小正周期是π．…（5分）
令 2x+

π

3

=

π

2

+2kπ，k∈Z，解得 x=

π

12

+kπ，k∈Z，
∴函數f（x）的最大值為2，此時，x值的集合為 {x|x=kπ+

π

12

，k∈z}．…（7分）
（Ⅱ）∵f(A)=sin(2A+

π

3

)=0，0＜A＜

π

2

∴A=

π

3

．…（9分）
在△ABC中，a²=b²+c²-2bc．cosA，c²-5c-24=0，解得c=8，或c=-3（舍），…（11分）
∴S△ABC=

1

2

bc•sinA=10

3

．…（13分）