Question

【題目】已知拋物線x2=4y，圓C：x2+（y﹣2）2=4，點M（x0 ， y0），（x0＞0，y0＞4）為拋物線上的動點，過點M的圓C的兩切線，設其斜率分別為k1 ， k2
（Ⅰ）求證：k1+k2= ，k1k2= ．
（Ⅱ）求過點M的圓的兩切線與x軸圍成的三角形面積S的最小值．

Answer 1

【答案】解：（I）證明：設切線方程y﹣y0=k（x﹣x0），即kx﹣y+y0﹣kx0=0， 切線與x軸交為（ ，0），圓心到直線的距離d= =2
整理得：
由兩切線的斜率分別為k1 ， k2
則k1+k2= ，k1k2= ，
（Ⅱ）S= |（ ）﹣（ ）|y0
= y02
= y02
= y02
=
=
=2[ +（y0﹣4）+8]
≥2（2 +8）
=32．
當且僅當 =y0﹣4，即y0=8時取等號．
故兩切線與x軸圍成的三角形面積S的最小值為32
【解析】（I）設切線：y﹣y0=k（x﹣x0），切線與x軸交于點（ ，0），圓心到切線的距離d= =2，結合韋達定理，可得k1+k2= ，k1k2= ．（Ⅱ）求出過點M的圓的兩切線與x軸圍成的三角形面積S的表達式，由基本不等式可求出兩切線與x軸圍成的三角形面積S的最小值．