Question

【題目】已知圓C：x2+y2﹣2x﹣4y+1=0．
（1）求過點M（3，1）的圓C的切線方程；
（2）若直線l：ax﹣y+4=0與圓C相交于A，B兩點，且弦AB的長為 ，求a的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：圓C的方程可化為（x﹣1）2+（y﹣2）2=4，圓心C（1，2），半徑是2．

①當切線斜率存在時，設切線方程為y﹣1=k（x﹣3），即kx﹣y﹣3k+1=0．

因為 ，

所以 ．

②當切線斜率不存在時，直線方程為x=3，與圓C相切．

所以過點M（3，1）的圓C的切線方程為x=3或3x﹣4y﹣5=0．

（2）解：因為弦AB的長為2 ，

所以點C到直線l的距離為 ．

因為 ．

所以 ．

【解析】（1）分類討論，利用圓心到直線的距離等于半徑，即可求過點M（3，1）的圓C的切線方程；（2）因為弦AB的長為2 ，所以點C到直線l的距離為1，即可求a的值．