Question

已知下列四個命題
①在△ABC中，若A＞B，則sinA＞sinB；
②若b²=ac，則a，b，c成等比數列；
③若數列{a_n}的前n項和S_n=n²+2n+1，則數列{b_n}從第二項起成等差數列；
④若△ABC為銳角三角形，則cosA＜sinB且cosB＜sinA；
其中正確的命題是

 

（請填上所有正確命題的序號）．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：簡易邏輯

分析：①由三角形中的大邊對大角結合正弦定理說明①正確；
②舉例說明②錯誤；
③由數列的前n項和求出其通項公式說明③正確；
④由三角函數的誘導公式結合正弦函數在(0，

π

2

)上的單調性說明④正確．

解答： 解：①在△ABC中，若A＞B，則a＞b，由正弦定理可得sinA＞sinB，命題①正確；
②若b²=ac，則a，b，c成等比數列錯誤，如0=0×1，數列0，0，1不是等比數列，命題②錯誤③；
③若數列{b_n}的前n項和Sn=n2+2n+1，則a₁=S₁=4，
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=n²+2n+1-[（n-1）²+2（n-1）+1]=2n+1，n=1時不成立．
∴數列{b_n}從第二項起成等差數列，命題③正確；
④∵三角形ABC是銳角，
∴角A、B、C均為銳角，∴A+B＞

π

2

，即A＞

π

2

-B，
根據正弦函數的單調性可知
sinA＞sin（

π

2

-B）=cosB，即sinA＞cosB
同理可得sinB＞cosA，命題④正確．
故答案為：①③④．

點評：本題考查了命題的真假判斷與應用，考查了等差數列和等比數列的判定方法，是中檔題．