Question

已知函數f（x）=alnx-x²，a∈R，
（Ⅰ）求函數f（x）的單調區間；
（Ⅱ）若x≥1時，f（x）≤0恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性,導數在最大值、最小值問題中的應用

專題：計算題,分類討論,函數的性質及應用,導數的綜合應用

分析：（1）求出函數的導數，對a討論，當a≤0時，當a＞0時，令導數大于0，小于0，得到增區間和減區間；
（2）x=1時顯然成立，當x＞1時，運用分離參數，得到當x＞1時，a≤

x2

lnx

恒成立．令g（x）=

x2

lnx

，求出導數，求出單調區間和極值、最值，令a不大于最小值，即可得到a的范圍．

解答： 解：（1）函數f（x）=alnx-x²的導數f′（x）=

a

x

-2x=

a-2x2

x

（x＞0），
當a≤0時，f′（x）＜0，f（x）遞減，則f（x）的單調減區間為（0，+∞），無單調增區間；
當a＞0時，x＞

a 2

時，f′（x）＜0，0＜x＜

a 2

時，f′（x）＞0，
則有f（x）的單調減區間為(

a 2

，+∞)，單調增區間為(0，

a 2

)；
（2）x≥1時，f（x）≤0恒成立即為x≥1時，alnx≤x²恒成立，
當x=1時，顯然成立，當x＞1時，a≤

x2

lnx

恒成立．
令g（x）=

x2

lnx

，g′（x）=

2xlnx-x

(lnx)2

，當x＞

e

時，g′（x）＞0，g（x）遞增，
當1＜x＜

e

時，g′（x）＜0，g（x）遞減，
即有x=

e

，g（x）取得極小值，也為最小值，且為

e

1 2

=2e，
則有a≤2e．

點評：本題考查導數的運用：求單調區間和極值、最值，考查分類討論的思想方法，考查不等式的恒成立問題轉化為求函數的最值問題，考查運算能力，屬于中檔題．