Question

下列命題：
（1）在△ABC中，“A＜B”是“sinA＜sinB”的必要而非充分條件；
（2）函數f（x）=|sinx-cosx|的最小正周期是π；
（3）在△ABC中，若AB=2

2

，AC=2

3

，B=

π

3

，則△ABC為鈍角三角形；
（4）要得到函數y=sin（

x

2

-

π

4

）的圖象，只需將y=sin

x

2

的圖象向右平移

π

4

個單位．
其中真命題的序號是

（2）

．

Answer 1

分析：（1）分A、B均為銳角和一銳角一鈍角由A＜B推出sinA＜sinB，再由sinA＜sinB，移向后利用三角函數的和差化積公式，結合角的范圍推出A＜B；
（2）把給出的函數絕對值內的部分化積，求得周期為2π，加絕對值后圖象在x軸下方的部分進行了反折，使函數周期變為原來的一半；
（3）在三角形中運用正弦定理，結合大邊對大角求出角C，從而求出角A，可以得到三角形的形狀；
（4）把給出的函數式y=sin（

x

2

-

π

4

）變形為y=sin

1

2

(x-

π

2

)，由變量x的變化可以得到答案．

解答：解：（1）在△ABC中，若A，B均為銳角，由A＜B⇒sinA＜sinB．若A為銳角，B為鈍角，因為A+B＜π，
所以A＜π-B＜

π

2

，所以sinA＜sin（π-B）=sinB．反之，在△ABC中，若sinA＜sinB，則sinA-sinB＜0，
即sin

A-B

2

cos

A+B

2

＜0，因為0＜A＜π，0＜B＜π，0＜A+B＜π，所以-

π

2

＜

A-B

2

＜

π

2

，0＜

A+B

2

＜

π

2

，
所以cos

A+B

2

＞0，則sin

A-B

2

＜0，所以A-B＜0，即A＜B．
所以，在△ABC中，“A＜B”是“sinA＜sinB”的充要條件．所以，（1）不正確；
（2）由f（x）=|sinx-cosx|=|sin(x-

π

4

)|，因為函數y=sin(x-

π

4

)的周期為2π，所以，函數f（x）=|sinx-cosx|的最小正周期是π．所以（2）正確；
（3）在△ABC中，由

AC

sinB

=

AB

sinC

，因為AB=2

2

，AC=2

3

，B=

π

3

，所以

2 3

sin π 3

=

2 2

sinC

，
解得：sinC=

2

2

，由三角形中大邊對大角知C=

π

4

．所以A=π-(

π

3

+

π

4

)=

5π

12

．
所以△ABC為銳角三角形．所以（3）不正確；
（4）函數y=sin（

x

2

-

π

4

）=sin

1

2

(x-

π

2

)，所以，要得到函數y=sin（

x

2

-

π

4

）的圖象，只需將y=sin

x

2

的圖象向右平移

π

2

個單位．所以，（4）不正確．
故真命題的序號是（2）．
故答案為（2）．

點評：本題考查了命題的真假判斷與應用，結合三角函數廣泛考查了充要條件、函數的周期、函數圖象的平移及解三角形問題，本題中的四個命題在判斷時各有易錯點，命題（1）由A＜B推sinA＜sinB時學生不易想到討論，命題（2）往往忽略絕對值對周期的影響，命題（3）中大邊對大角是關鍵，命題（4）是看變量x的變化，此題屬中檔以上題．