Question

設f(x)=

lnx

x-1

(x＞1)
（Ⅰ）判斷函數f（x）的單調性；
（Ⅱ）是否存在實數a、使得關于x的不等式lnx＜a（x-1）在（1，+∞）上恒成立，若存在，求出a的取值范圍，若不存在，試說明理由；

Answer 1

分析：（1）對f（x）求導后，構造新的函數g（x），利用導數求解函數單調的方法步驟進行求解．
（2）根據已知lnx＜a（x-1）在（1，+∞）上恒成立等價于lnx-a（x-1）＜0在（1，+∞）上恒成立，構造新的函數h（x）=lnx-a（x-1），本題所要求的a的取值范圍，只需滿足一個條件：使得h（x）在定義域內為減函數即可．

解答：證明：（1）∵f(x)=

lnx

x-1

，(x＞1)
∴f′(x)=

1- 1 x -lnx

(x-1)2

，
設g(x)=1-

1

x

-lnx，(x≥1)．
∴g′(x)=

1

x2

-

1

x

=

1-x

x2

≤0，
∴y=g（x）在[1，+∞）上為減函數．
∴g(x)=1-

1

x

-lnx≤g(1)=0，
∴，f′(x)=

1- 1 x -lnx

(x-1)2

＜0
∴函數f(x)=

lnx

x-1

在（1，+∞）上為減函數．
（2）lnx＜a（x-1）在（1，+∞）上恒成立，?lnx-a（x-1）＜0在（1，+∞）上恒成立，
設h（x）=lnx-a（x-1），則h（1）=0，
∴h′(x)=

1

x

-a，
若a≤0顯然不滿足條件，
若a≥1，則x∈[1，+∞）時，h′(x)=

1

x

-a≤0恒成立，
∴h（x）=lnx-a（x-1）在[1，+∞）上為減函數
∴lnx-a（x-1）＜h（1）=0在（0，+∞）上恒成立，
∴lnx＜a（x-1）在（1，+∞）上恒成立，
若0＜a＜1，則h′(x)=

1

x

-a=0時，x=

1

a

，
∴x∈[1，

1

a

時h'（x）≥0，
∴h（x）=lnx-a（x-1）在[1，

1

a

上為增函數，
當x∈[1，

1

a

時，h（x）=lnx-a（x-1）＞0，
不能使lnx＜a（x-1）在（1，+∞）上恒成立，
∴a≥1

點評：本題考查利用導數研究函數的單調性問題，這一道題的新穎之處是構造新的函數，這也是教學中的重點和難點，希望在平時多加練習，掌握要領．