Question

已知，函數
（1）求的極小值；
（2）若在上為單調增函數，求的取值范圍；
（3）設，若在（是自然對數的底數）上至少存在一個，使得成立，求的取值范圍．

Answer 1

（1）．（2） 的取值范圍是．
（3）要在上存在一個，使得，必須且只需．

解析試題分析：（1）由題意，，，∴當時，；當時，，所以，在上是減函數，在上是增函數，故．  4分
（2） ，，由于在內為單調增函數，所以在上恒成立，即在上恒成立，故，所以的取值范圍是． 9分
（3）構造函數，
當時，由得，，，所以在上不存在一個，使得．
當時，，因為，所以，，所以在上恒成立，故在上單調遞增，，所以要在上存在一個，使得，必須且只需，解得，故的取值范圍是．
另法:（Ⅲ）當時，．
當時，由，得 ， 令，則，所以在上遞減，．
綜上，要在上存在一個，使得，必須且只需．
考點：本題主要考查應用導數研究函數的單調性、最值及不等式恒成立問題。
點評：難題，本題屬于導數應用中的基本問題，通過研究函數的單調性，明確了極值情況。通過研究函數的單調區間、極值，最終確定最值情況。涉及恒成立問題，往往通過構造函數，研究函數的最值，得到解題目的。