Question

(1)已知,求證：;
(2)已知，>0(i=1,2,3,…,3ⁿ)，求證：
+++…+

Answer 1

(1)利用函數(shù)的單調(diào)性，alog₃a+blog₃b+clog₃c≥-1當(dāng)a=b=c=時(shí)等號(hào)成立。
(2)證明：數(shù)學(xué)歸納法

解析試題分析：(1)證明： a+b+c=1，a、b、c∈(0，+∞)，
alog₃a+blog₃b+clog₃c= alog₃a+blog₃b+(1-a-b) log₃(1-a-b)="f(a)"
那么f ′ (a)= log₃a-log₃(1-a-b)，當(dāng)a∈(0，)時(shí)f ′ (a)<0，當(dāng)a∈(，1)時(shí)f ′ (a)>0，
f(a)在(0，]上遞減，在[，1) 上遞增；
f(a)≥f()="(1-b)" log₃+ blog₃b，記g(b)=" (1-b)" log₃+ blog₃b， 3分
得：g′(b)= log₃b-log₃，當(dāng)b∈(0，)時(shí)g′(b) <0，當(dāng)b∈(，1)時(shí)，g′(b) >0，
 g(b)在(0，)遞減，在(，1)上遞增； g(b)≥g()=-1。
alog₃a+blog₃b+clog₃c≥-1當(dāng)a=b=c=時(shí)等號(hào)成立。5分
(2)證明：n=1時(shí)，++=1，>0(i=1,2,3)，由(1)知
++≥-1成立，即n=1時(shí)，結(jié)論成立。
設(shè)n=k時(shí)結(jié)論成立，即++…+=1，>0(i=1,2,3,…,3^k)時(shí)
+++…+≥-k.
那么，n=k+1時(shí),若++…+++…+=1，>0(i=1,2,3,…,3^k+1)時(shí)，
令+…+=t，則++…+=1，由歸納假設(shè)：
++…+≥-k. 8分