Question

已知橢圓C：()經過與兩點.

（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）過原點的直線l與橢圓C交于A、B兩點，橢圓C上一點M滿足．求證：為定值．

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）①若點A、B是橢圓的短軸頂點，則點M是橢圓的一個長軸頂點，此時．同理，若點A、B是橢圓的長軸頂點，則點M在橢圓的一個短軸頂點，此時
．②若點A、B、M不是橢圓的頂點，設直線l的方程為（），
則直線OM的方程為，設，，由解得，，∴，同理，所以，為定值． 13分

試題分析：（Ⅰ）將與代入橢圓C的方程，

得解得，．
∴橢圓的方程為．   6分
（Ⅱ）由，知M在線段AB的垂直平分線上，由橢圓的對稱性知A、B關于原點對稱．
①若點A、B是橢圓的短軸頂點，則點M是橢圓的一個長軸頂點，此時
．
同理，若點A、B是橢圓的長軸頂點，則點M在橢圓的一個短軸頂點，此時
．
②若點A、B、M不是橢圓的頂點，設直線l的方程為（），
則直線OM的方程為，設，，
由解得，，
∴，同理，
所以，
故為定值．   13分
點評：求橢圓方程采用的待定系數法，第二問中要證明式子結果是定值首先需求出點坐標，結合已知條件可知這三點坐標教容易求出，因此只需聯立方程求解即可