Question

曲線都是以原點O為對稱中心、坐標軸為對稱軸、離心率相等的橢圓.點M的坐標是（0,1）,線段MN是曲線的短軸，并且是曲線的長軸 . 直線與曲線交于A,D兩點（A在D的左側），與曲線交于B,C兩點（B在C的左側）．
（1）當=，時，求橢圓的方程；
（2）若，求的值．

Answer 1

（1）C₁ ,C₂的方程分別為，；（2） ．

試題分析：（1）解：設曲線C₁的方程為,C₂的方程為（）…2分
∵C₁ ,C₂的離心率相同，∴,∴，               3分
令代入曲線方程，則 .
當=時，A,C．……………5分
又∵,.由，且，解得      6分
∴C₁ ,C₂的方程分別為，．        7分
（2）令代入曲線方程，，得  ，得   9分
由于，所以(-,m),(,m) ．        10分
由于是曲線的短軸，所以.
∵OC⊥AN，（）.                 11分
∵=（,m），=（,-1-m)，
代入（）并整理得2m²+m-1=0，                     12分
∴或(舍負) ，∴ ．          14分
點評：難題，求橢圓的標準方程，主要運用了橢圓的幾何性質，注意明確焦點軸和a,b,c的關系。曲線關系問題，往往通過聯立方程組，得到一元二次方程，運用韋達定理。本題（2）利用向量垂直，數量積為0，確定得到m的方程。