Question

甲、乙兩位同學玩游戲，對于給定的實數a₁，按下列方法操作一次產生一個新的實數：由甲、乙同時各拋一枚均勻的硬幣，如果出現兩個正面朝上或兩個反面朝上，則把a₁乘以2后再減去12；如果出現一個正面朝上，一個反面朝上，則把a₁除以2后再加上12，這樣就可得到一個新的實數a₂，對a₂仍按上述方法進行一次操作，又得到一個新的實數a₃，當a₃＞a₁時，甲獲勝，否則乙獲勝．若甲獲勝的概率為

3

4

，則a₁的取值范圍是

（-∞，12]∪[24，+∞）

．

Answer 1

分析：按要求操作一次產生一個新的實數，實際上這是一個新定義問題，列舉得到新的實數的途徑，列出不等式，根據所給的甲獲勝的概率為

3

4

，可求a₁的取值范圍．

解答：解：由題意得，a₃的結果有四種：
1．a₁→2a₁-12→2（2a₁-12）-12=4a₁-36=a₃，
2．a₁→2a₁-12→

1

2

（2a₁-12）+12=a₁+6=a₃，
3．a₁→

1

2

a₁+12→

1

2

（

1

2

a₁+12）+12=

1

4

a₁+18=a₃，
4．a₁→

1

2

a₁+12→2（

1

2

a₁+12）-12=a₁+18=a₃，
每一個結果出現的概率都是

1

4

∵a₁+18＞a₁，a₁+6＞a₁，
∴要使甲獲勝的概率為

3

4

，即a₃＞a₁的概率為

3

4

，
∴4a₁-36＞a₁，

1

4

a₁+18≤a₁，
或4a₁-36≤a₁，

1

4

a₁+18＞a₁，
解得a₁≥24或a₁≤12．
故a₁的取值范圍是（-∞，12]∪[24，+∞）
故答案為：（-∞，12]∪[24，+∞）

點評：本題考查新定義，考查生分析問題、解決問題，理解題意有些麻煩，屬于中檔題．