Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P到兩點(diǎn)（0，-

3

），（0，

3

）的距離之和等于4，設(shè)點(diǎn)P的軌跡為C．
（1）寫出C的方程；
（2）設(shè)直線y=kx+1與C交于A，B兩點(diǎn)．k為何值時(shí)以AB為直徑的圓經(jīng)過原點(diǎn)O？此時(shí)|AB|的值是多少？

Answer 1

（1）由條件知：P點(diǎn)的軌跡為焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，其中c=

3

，a=2，
∴b²=a²-c²=1．
故軌跡C的方程為：x2+

y2

4

=1；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由

y=kx+1 x2+ y2 4 =1

，消去y，
可得（kx+1）²+4x²=4，即（k²+4）x²+2kx-3=0
△=16k²+48＞0，x₁+x₂=-

2k

k2+4

，x₁x₂=-

3

k2+4

，
∵以AB為直徑的圓經(jīng)過原點(diǎn)O，
∴

OA

⊥

OB

，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，
∴（k²+1）x₁x₂+k（x₁+x₂）+1=0，
∴（k²+1）（-

3

k2+4

）+k•（-

2k

k2+4

）+1=0，
∴k=±

1

2

，
∴k=±

1

2

時(shí)，以AB為直徑的圓經(jīng)過原點(diǎn)O，
|AB|=

1+ 1 4

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

4 65

17

．