Question

已知定點(diǎn)O（0，0），A（3，0），動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)O距離與到定點(diǎn)A的距離的比值是

1

2

．
（1）記動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為曲線D．求曲線D的方程，并說明方程表示的曲線；
（2）若M是圓E：（x-2）²+（y-4）²=64上任意一點(diǎn)，過M作曲線D的切線，切點(diǎn)是N，求|MN|的取值范圍．

Answer 1

解（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），則由2|PO|=|PA|，得4（x²+y²）=（x-3）²+y²，
整理得：x²+y²+2x-3=0．
化為（x+1）²+y²=4，
因此曲線D的方程表示的是以（-1，0）為圓心，2為半徑的圓．
（Ⅱ）由|DE|=

(2+1)2+(4-0)2

=5，及5＜8-2有：兩圓內(nèi)含，且圓D在圓E內(nèi)部．
如圖所示，由|MN|²=|MD|²-|DN|²，即：|MN|²=|MD|²-4，
∵|MD|_min=8-5=3，|MD|_max=8+5=13，
故5≤|MN|²≤165，