Question

如圖，在等腰梯形ABCD中，AB=6，CD=4，梯形ABCD的面積是5

7

．若分別以A、B為橢圓E的左右焦點，且C、D在橢圓E上．
（1）求橢圓E的標準方程；
（2）設橢圓E的上頂點為M，直線l交橢圓于P、Q兩點，那么是否存在直線l，使B點恰為△PQM的垂心？如果存在，求出直線l的方程；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）設橢圓的標準方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，由梯形ABCD的面積是5

7

可求點C的坐標為(2，

7

)由2a=|AC|+|CB|=

(2+3)2+( 7 )2

+ 

(2-3)2+ 7 2

=6

2

可求2a，2c，進而可求橢圓的方程
（2）解：假設存在直線l與橢圓E相交于P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂）兩點，且B點恰為△PQM垂心．由K_MB=-1，可得K_PQ=1，故設直線l的方程為y=x+m
聯立

y=x+m x2 18 + y2 9 =1

得3x²+4mx+2m²-18=0由

MP

•

BQ

=0可得x₁（x₂-3）+y₂（y₁-3）=0，從而可求m的值

解答：解：（1）設橢圓的標準方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1
在等腰梯形ABCD中，AB=6，CD=4，梯形ABCD的面積是5

7

∴

1

2

(6+4)•yC=5

7

，即yC=

7

，所以點C的坐標為(2，

7

)，
又A（-3，0）、B（3，0）
∴2a=|AC|+|CB|=

(2+3)2+( 7 )2

+ 

(2-3)2+ 7 2

=6

2

2c=|AB|=6∴a=3

2

，c=3，∴b=3
∴橢圓的標準方程為

x2

18

+

y2

9

=1
（2）解：假設存在直線l與橢圓E相交于P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂）兩點，且B點恰為△PQM垂心．
∵M（0，3），B（3，0），
∴K_MB=-1，∴K_PQ=1，故設直線l的方程為y=x+m
由

y=x+m x2 18 + y2 9 =1

得3x²+4mx+2m²-18=0
△=16m²-4×3（2m²-18）＞0
∴-3

3

＜m＜3

3

∴x1+x2=-

4m

3

，x1x2=

2m2-18

3

∵

MP

•

BQ

=0
∴x₁（x₂-3）+y₂（y₁-3）=0

∴x1(x2-3)+(x2+m)(x1+m-3)=0， 2x1x2+(x1+x2)(m-3)+m2-3m=0 ∴2× 2m2-18 3 - 4m 3 (m-3)+m2-3m=0

故m²+m-12=0
∴m=-4或3，經檢驗，m=3不合題意，舍去
∴存在直線l：y=x-4，使得B點恰為△PQM的垂心

點評：本題主要考查了利用橢圓的定義求解橢圓的方程及直線與橢圓的位置關系的處理，常見的處理方法是聯立方程，根據方程的性質求解，屬于綜合性試題．