Question

某市為響應國家節能減排，建設資源節約型社會的號召，開展了以“再小的力量也是一種支持”為主題的宣傳教育活動，其中有兩則公益廣告：
（一）80部手機，一年就會增加一噸二氧化碳的排放…
（二）人們在享受汽車帶來的便捷與舒適的同時，卻不得不呼吸汽車排放的尾氣…
活動組織者為了解市民對這兩則廣告的宣傳效果，隨機對10～60歲的人群抽查了n人，統計結果如下圖表：

	廣告一		廣告二
	回答正 確人數	占本組 人數頻率	回答正 確人數	占本組 人數頻率
[10，20）	90	0.5	45	a
[20，30）	225	0.75	k	0.8
[30，40）	b	0.9	252	0.6
[40，50）	160	c	120	d
[50，60]	10	e	f	g

（1）分別寫出n，a，c，d的值；
（2）若以表中的頻率近似看作各年齡組正確回答廣告內容的概率，規定正確回答廣告一的內容得20元，正確回答廣告二的內容得30元．組織者隨機請一個家庭中的兩名成員（大人45歲，孩子17歲）回答這兩則廣告的內容，求該家庭獲得獎金的期望（各人之間，兩則廣告之間，對能否正確回答均無影響）．

Answer 1

分析：（1）由題設知：n=1200，a=

1

4

，c=

2

3

，d=

1

2

．
（2）依題意，孩子正確回答廣告一、廣告二的內容的概率分別為P₁=

1

2

，P₂=

1

4

，大人正確回答廣告一、廣告二的內容的概率分別為P₃=

2

3

，P₄=

1

2

，設隨機變量ξ表示家庭獲得的獎金數，則ξ的可能取值為：0，20，30，40，50，60，70，80，100．由此能求出ξ的分布列和Eξ．

解答：解：（1）由題設知：n=1200，a=

1

4

，c=

2

3

，d=

1

2

．
（2）依題意，孩子正確回答廣告一、廣告二的內容的概率分別為P₁=

1

2

，P₂=

1

4

，
大人正確回答廣告一、廣告二的內容的概率分別為P₃=

2

3

，P₄=

1

2

，
設隨機變量ξ表示家庭獲得的獎金數，
則ξ的可能取值為：0，20，30，40，50，60，70，80，100．
P（ξ=0）=(1-

1

2

)×(1-

1

4

)×(1-

2

3

)(1-

1

2

)=

1

16

，
P（ξ=20）=

1

2

×(1-

1

4

)×(1-

2

3

)× (1-

1

2

)+(1-

1

2

)×(1-

1

4

)×

2

3

×(1-

1

2

)=

3

16

，
P（ξ=30）=(1-

1

2

)×

1

4

×(1-

2

3

)×(1-

1

2

)+(1-

1

2

)×(1-

1

4

)×(1-

2

3

)×

1

2

=

1

12

，
P（ξ=40）=

1

2

×(1-

1

4

)× 

2

3

×(1-

1

2

)=

1

8

，
P（ξ=50）=

1

2

×

1

4

×(1-

2

3

)×(1-

1

2

)+

1

2

×(1-

1

4

)× (1-

2

3

)× 

1

2

+(1-

1

2

)× 

1

4

×

2

3

×(1-

1

2

)+(1-

1

2

)× (1-

1

4

)×

2

3

×

1

2

=

1

4

，
P（ξ=60）=(1-

1

2

)×

1

4

× (1-

2

3

)×

1

2

=

1

48

，
P（ξ=70）=

1

2

×

1

4

×

2

3

×(1-

1

2

)+

1

2

×(1-

1

4

)×

2

3

× 

1

2

=

1

6

，
P（ξ=80）=

1

2

×

1

4

× (1-

2

3

)×

1

2

+(1-

1

2

)×

1

4

 ×

2

3

× 

1

2

=

1

16

，
P（ξ=100）=

1

2

×

1

4

×

2

3

×

1

2

=

1

24

．
∴ξ的分布列為：

ξ	0	20	30	40	50	60	70	80	100
P	1 16	3 16	1 12	1 8	1 4	1 48	1 6	1 16	1 24

Eξ=0×

1

16

+20×

3

16

+30×

1

12

+40×

1

8

+50×

1

4

+60×

1

48

+70×

1

6

+80×

1

16

+100×

1

24

=

275

6

（元）．

點評：本題考查離散型分布列的數學期望和方差，是歷年高考的必考題型．解題時要認真審題，仔細解答，注意概率知識的靈活運用．