Question

給出下列命題：
①若平面α上的直線a與平面β上的直線b互為異面直線，c是α與β的交線，那么c至多與a、b中的一條相交；
②若直線a與b異面，過不在直線a、b上一點A可作一條與a和b都相交的直線；
③若直線a與b異面，則存在唯一 一個過a的平面α與b平行．
其中正確的命題為（ ）
A．①
B．②
C．③
D．①③

Answer 1

【答案】分析：畫出圖形判斷①的正誤；通過反例判斷②的正誤；利用直線與平面平行關系判斷③的正誤．
解答：解：對于①，平面α上的直線a與平面β上的直線b互為異面直線，如圖，c是α與β的交線，那么c至多與a、b中的一條相交；c與a、b都相交；故命題①不正確；
對于②，若直線a與b異面，過不在直線a、b上一點A可作一條與a和b都相交的直線，例如正方體中，上下底面的異面直線，在上底面取步驟異面直線上的點，不存在滿足②的直線．所以②不正確．
對于③，假設過直線a有兩個平面α、β與直線b平行，則面α、β相交于直線a，過直線b做一平面γ與面α、β相交于兩條直線m、n，則直線m、n相交于一點，且都與直線b平行，這與“過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行”矛盾，所以假設不成立，所以③正確．
故選C．
點評：本題考查空間直線與直線、直線與平面的位置關系的判斷，異面直線的應用，考查邏輯推理能力．