Question

【題目】如圖，在三棱錐P﹣ABC中，PC⊥平面ABC，∠ACB=45°，BC=2 ，AB=2．
（1）求AC的長；
（2）若PC= ，點M在側棱PB上，且 = ，當λ為何值時，二面角B﹣AC﹣M的大小為30°．

Answer 1

【答案】
（1）解：在△ABC中，

由余弦定理得AB2=BC2+AC2﹣2BC×AC×cos∠ACB，

得4=8+AC2+﹣4AC，解得AC=2

（2）解：∵PC⊥平面ABC，PA⊥AB，∴AB⊥AC，

以A為原點，AB為x軸，AC為y軸，過A作平面ABC的垂線為z軸，建立空間直角坐標系，

B（2，0，0），C（0，2，0），P（0，2， ），

∵點M在側棱PB上，且 = ，

∴M（ ， ， ），

設平面ACM的一個法向量為 =（x，y，z），

則 ，取z=1，得 =（﹣ ，0，1），

平面ABC的一個法向量 =（0，0，1），

∵二面角B﹣AC﹣M的大小為30°，

∴cos30°= = = ，

解得λ=1或λ=﹣1（舍），

∴當λ=1時，二面角B﹣AC﹣M的大小為30°．

【解析】（1）由已知條件利用余弦定理，利能求出AC．（2）以A為原點，AB為x軸，AC為y軸，過A作平面ABC的垂線為z軸，建立空間直角坐標系，求出平面ACM的一個法向量和平面ABC的一個法向量，利用向量法能求出當λ=1時，二面角B﹣AC﹣M的大小為30°．