Question

已知數列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n=2a_n-2；數列{b_n}的首項為1，點P（n，b_n）都在斜率為2的同一條直線l上（以上n∈N*）．
求：（1）數列{a_n}、{b_n}的通項公式；
（2）求數列{a_bn}、{b_an}的前n項和．

Answer 1

分析：（1）要求數列{a_n}，{b_n}的通項公式，先要根據已知條件判斷，數列是否為等差（比）數列，由S_n=2a_n-2，不難得到數列{a_n}為等比數列，而由由題意可知，

bn-b1

n-1

=2
∴b_n=2n-1易得數列{b_n}是一個等差數列．求出對應的基本量，代入即可求出數列{a_n}，{b_n}的通項公式．
（2）由（1）中結論，我們易得基本數列{a_bn}、{b_an}，即數列{a_bn}的通項公式一個等比數列的形式，數列{b_an}的通項公式一個等比數列與一個常數數列的形式，利用等差等比數列的求和公式即可求數列{a_bn}、{b_an}的前n項和．

解答：解：（1）當n=1時，a₁=S₁=2a₁-2∴a₁=2
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2-（2a_n-1-2）=2a_n-2a_n-1
∴a_n=2a_n-1
∴{a_n}是以2為首項，2為公比的等比數列，即a_n=2ⁿ
由題意可知，

bn-b1

n-1

=2
∴b_n=2n-1
（2）由（1）可知：abn=2bn=22n-1，
數列{a_bn}的前n項和為21+23+25+…+22n-1=

2-22n-1•4

1-4

=

22n+1-2

3

由（1）可知：b_an=2a_n-1=2ⁿ⁺¹-1，
數列{b_an}的前n項和為：

22-1+23-1+24-1+…+2n+1-1 =(22+23+24+…+2n+1)-(1+1+1+…+1) = 22-2n+1×2 1-2 -n =2n+2-n-4

點評：解答特殊數列（等差數列與等比數列）的問題時，根據已知條件構造關于基本量的方程，解方程求出基本量，再根據定義確定數列的通項公式及前n項和公式，然后代入進行運算．