Question

【題目】已知點(diǎn)，點(diǎn)P是圓C：上的任意一點(diǎn)，線段PQ的垂直平分線與直線CP交于點(diǎn)M．

求點(diǎn)M的軌跡方程；

過點(diǎn)作直線與點(diǎn)M的軌跡交于點(diǎn)E，過點(diǎn)作直線與點(diǎn)M的軌跡交于點(diǎn)F不重合，且直線AE和直線BF的斜率互為相反數(shù)，直線EF的斜率是否為定值，若為定值，求出直線EF的斜率；若不是定值，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）定值.

【解析】

（1）根據(jù)中垂線的性質(zhì)得出，然后計(jì)算出，結(jié)合橢圓的定義得知點(diǎn)的軌跡為橢圓，可得出和的值，進(jìn)而求得的值，于是可得出點(diǎn)的軌跡方程；

（2）設(shè)直線的方程為，則直線的方程為，將直線、的方程分別與曲線的方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理求出的點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用兩點(diǎn)間的斜率公式求出直線的斜率，從而證明結(jié)論．

（1）如下圖所示，

連接，則，

又，所以點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓，

因?yàn)?/span>，所以．

故點(diǎn)的軌跡方程是；

（2）設(shè)直線的方程為，則直線的方程為，

由，消去整理得．

設(shè)交點(diǎn)、，

則，．

由，消去整理得，

則．

所以，．

故直線的斜率為定值，其斜率為．