【題目】已知拋物線
，過點
的直線
交拋物線
于
兩點．
（1）若直線平行于
軸，
，求拋物線的方程；
（2）對于（1）條件下的拋物線，當直線的斜率變化時，證明
．
【答案】（1）
（2）證明見解析
【解析】
（1）由直線
平行于
軸可知
是以
為頂點的等腰三角形，聯(lián)立直線與拋物線的方程并利用三角形面積公式列方程，解得
的值，即得拋物線
的方程；
（2）聯(lián)立直線與拋物線的方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系及斜率公式得到
，即得
，利用三角形面積公式得到線段比，即得證．
解：（1）當直線平行于軸時，直線的方程為
是以為頂點的等腰三角形，
聯(lián)立方程，得
消去
得
，得
．
所以
，解得
，
所以拋物線的方程為．
（2）欲證
，
只需證
．
由題意可知直線的斜率
存在，
故可設(shè)直線的方程為
，
聯(lián)立方程，得
消去，得
，
則
所以直線
的斜率
，
直線
的斜率
，
，
所以直線與的傾斜角互補，
所以．
又
，
，
所以
，
所以．
名校課堂系列答案科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】2020年1月10日，引發(fā)新冠肺炎疫情的COVID-9病毒基因序列公布后，科學(xué)家們便開始了病毒疫苗的研究過程.但是類似這種病毒疫苗的研制需要科學(xué)的流程，不是一朝一夕能完成的，其中有一步就是做動物試驗.已知一個科研團隊用小白鼠做接種試驗，檢測接種疫苗后是否出現(xiàn)抗體.試驗設(shè)計是：每天接種一次，3天為一個接種周期.已知小白鼠接種后當天出現(xiàn)抗體的概率為
，假設(shè)每次接種后當天是否出現(xiàn)抗體與上次接種無關(guān).
（1）求一個接種周期內(nèi)出現(xiàn)抗體次數(shù)
的分布列；
（2）已知每天接種一次花費100元，現(xiàn)有以下兩種試驗方案：
①若在一個接種周期內(nèi)連續(xù)2次出現(xiàn)抗體即終止本周期試驗，進行下一接種周期，試驗持續(xù)三個接種周期，設(shè)此種試驗方式的花費為
元；
②若在一個接種周期內(nèi)出現(xiàn)2次或3次抗體，該周期結(jié)束后終止試驗，已知試驗至多持續(xù)三個接種周期，設(shè)此種試驗方式的花費為
元.
比較隨機變量和的數(shù)學(xué)期望的大小.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
．
（1）若
在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，求實數(shù)
的值；
（2）若在定義域內(nèi)有唯一的零點，求實數(shù)的取值范圍．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知點
，
分別是橢圓
的左頂點和上頂點，
為其右焦點，
，且該橢圓的離心率為
；
（1）求橢圓
的標準方程；
（2）設(shè)點
為橢圓上的一動點，且不與橢圓頂點重合，點
為直線
與
軸的交點，線段的中垂線與
軸交于點
，若直線
斜率為
，直線
的斜率為
，且
（
為坐標原點），求直線的方程.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知三棱錐
中，
，
，
，
.有以下結(jié)論：①三棱錐的表面積為
；②三棱錐的內(nèi)切球的半徑
；③點
到平面
的距離為
；其中正確的是（ ）
A.①②B.②③C.①③D.①②③
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】在直角坐標系
中，曲線
的參數(shù)方程為
.(
為參數(shù))以坐標原點
為極點，
軸的正半軸為極軸建立極坐標系，點
的極坐標為
，直線
的極坐標方程為
.
（1）求的直角坐標和 l的直角坐標方程；
（2）把曲線上各點的橫坐標伸長為原來的
倍，縱坐標伸長為原來的
倍，得到曲線
，
為上動點，求
中點
到直線距離的最小值.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
和函數(shù)
.
（1）若曲線
在
處的切線過點
，求實數(shù)
的值；
（2）求函數(shù)
的單調(diào)區(qū)間；
（3）若不等式
對于任意的
恒成立，求實數(shù)的最大值.
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