Question

【題目】已知函數f（x）=﹣x3+x2（x∈R），g（x）滿足g′（x）= （a∈R，x＞0），且g（e）=a，e為自然對數的底數．
（Ⅰ）已知h（x）=e1﹣xf（x），求h（x）在（1，h（1））處的切線方程；
（Ⅱ）若存在x∈[1，e]，使得g（x）≥﹣x2+（a+2）x成立，求a的取值范圍；
（Ⅲ）設函數F（x）= ，O為坐標原點，若對于y=F（x）在x≤﹣1時的圖象上的任一點P，在曲線y=F（x）（x∈R）上總存在一點Q，使得 ＜0，且PQ的中點在y軸上，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵h（x）=（﹣x3+x2）e1﹣x，h'（x）=（x3﹣4x2+2x）e1﹣x，

∴h（1）=0，h'（1）=﹣1，

∴h（x）在（1，h（1））處的切線方程為：y=﹣（x﹣1），

即y=﹣x+1；

（Ⅱ）∵ ，

∴g（x）=alnx+c，

∴g（e）=alne+c=a+c=ac=0，從而g（x）=alnx，

由g（x）≥﹣x2+（a+2）x，得：（x﹣lnx）a≤x2﹣2x．

由于x∈[1，e]時，lnx≤1≤x，且等號不能同時成立，

所以lnx＜x，x﹣lnx＞0．

從而 ，為滿足題意，必須 ．

設 ，x∈[1，e]，

則 ；

∵x∈[1，e]，

∴x﹣1≥0，lnx≤1，x+2﹣2lnx＞0，

從而t'（x）≥0，

∴t（x）在[1，e]上為增函數，

所以 ，

從而 ．

（Ⅲ）設P（t，F（t））為y=F（x）在x≤﹣1時的圖象上的任意一點，則t≤﹣1，

∵PQ的中點在y軸上，

∴Q的坐標為（﹣t，F（﹣t）），

∵t≤﹣1，∴﹣t≥1，

所以P（t，﹣t3+t2），Q（﹣t，aln（﹣t）），

．

由于 ，

所以a（1﹣t）ln（﹣t）＜1．

當t=﹣1時，a（1﹣t）ln（﹣t）＜1恒成立，

∴a∈R；

當t＜﹣1時， ，

令 （t＜﹣1），

則

∵t＜﹣1，∴t﹣1＜0，tln（﹣t）＜0，

∴φ'（t）＞0，

從而 在（﹣∞，﹣1）上為增函數，

由于t→﹣∞時， ，

∴φ（t）＞0，∴a≤0

綜上可知，a的取值范圍是（﹣∞，0]．

【解析】（1）對h（x）求導，根據切線方程公式得出在（1，h（1））的切線方程；（2）設出g（x）的解析式，根據g（e）=a，求出g（x），進行參變分離，討論出a的最大值；（3）設P（t，F（t））為y=F（x）在x≤-1時的圖象上的任意一點，則a（1-t）ln（-t）＜1，對t進行討論，綜合求出a的取值范圍.