Question

已知
(1) 求函數上的最小值；
(2) 若對一切恒成立,求實數的取值范圍；
(3) 證明:對一切,都有成立.

Answer 1

（1）；（2）.

解析試題分析：(1)對函數求導，通過導數研究函數的單調性，再討論的范圍，以便得到在上的單調性.從而得到函數的最小值；（2）由題意得到，即.再通過導數研究在上的單調性，從而得，要想對一切恒成立,則；（3）問題等價于證明，由（1）可以得的最小值是，當且僅當時取到.再構造函數，通過導數研究單調性，由單調性研究函數的最大值. 對一切，都有成立,即證明要小于函數的最小值.在本問中，盡管二者相等，但因為不同時取到，故仍可滿足題中的不等式.
試題解析：（1），
當單調遞減，當單調遞增
①，即時， ；
②，即時，上單調遞增，；所以 
(2），則
設，則，
當單調遞減，當單調遞增，
所以
所以.所以實數的取值范圍為.
(3）問題等價于證明，
由（1）可知的最小值是，當且僅當時取到，
設，則，易知
，當且僅當時取到，
從而對一切，都有成立.
考點：1.用導數研究函數的單調性；2.通過單調性求最值；3.不等式恒成立問題.