Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知曲線，以平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)， 軸的正半軸為極軸，取相同的單位長度建立極坐標(biāo)系，已知直線.

（1）將曲線上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)分別伸長為原來的倍、2倍后得到曲線.試寫出直線的直角坐標(biāo)方程和曲線的參數(shù)方程；

（2）在曲線上求一點(diǎn)，使點(diǎn)到直線的距離最大，并求出此最大值.

Answer 1

【答案】(1)直線的直角坐標(biāo)方程為： .曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.(2)點(diǎn)，此時(shí).

【解析】試題分析：（1）利用，可得直線的直角坐標(biāo)方程為： ，利用 ，可得曲線的直角坐標(biāo)方程為： ，進(jìn)而可得曲線的參數(shù)方程；（2）根據(jù)曲線的直角坐標(biāo)方程，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，則點(diǎn)到直線的距離為，利用輔助角公式及三角函數(shù)的有界性可得結(jié)果.

試題解析：（1）由題意知，直線的直角坐標(biāo)方程為： .

曲線的直角坐標(biāo)方程為： ，

∴曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.

（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，則點(diǎn)到直線的距離為：

，

∴當(dāng)， 時(shí)，點(diǎn)，

此時(shí).