Question

已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，

OA

=(1，2，3)，

OB

=(2，1，2)，

OC

=(1，1，2)，若點(diǎn)M在直線OC上運(yùn)動(dòng)，則

AM

•

BM

的最小值為______．

Answer 1

∵點(diǎn)M在直線OC上運(yùn)動(dòng)，
∴設(shè)

OM

=x

OC

，
則

OM

=x

OC

=（x，x，2x）．
即M（x，x，2x），
∵

OA

=(1，2，3)，

OB

=(2，1，2)，

OC

=(1，1，2)，
∴A（1，2，3），B（2，1，2），
∴

AM

•

BM

=（x-1，x-2，2x-3）•（x-2，x-1，x-2）=（x-1）（x-2）+（x-2）（x-1）+（2x-3）（2x-2）=6x²-16x+10=6（x-

4

3

）²-

2

3

，
∴當(dāng)x=

4

3

時(shí)，

AM

•

BM

的最小值為-

2

3

，
故答案為：-

2

3

．