Question

【題目】考察所有排列，將每種排列視為一個元有序實數組，設且，設為的最大項，其中.記數組為.例如，時，；時，.若數組中的不同元素個數為2.

（1）若，求所有元有序實數組的個數；

（2）求所有元有序實數組的個數.

Answer 1

【答案】（1）11；（2）

【解析】

（1）數組中的不同元素個數為2，故為1，2，3中的的任意一個，根據4的位置討論即可得到有序實數組的個數；

（2）數組中的不同元素個數為2，為1，2，中的的任意一個，則數，只能在之后，而在和之間只能出現1，2，中的某些數，設，根據計數原理以及排列組合知識即可得到當時，數組的個數，進而當從1變化到時，即可求出元有序實數組的全部個數．

（1）因為數組中的不同元素個數為2，

所以為1，2，3中的任意一個，即4只能為或或.

當時，則是1，2，3的任意一個排列，總數有個；

當時，則是1，2，3的一個排列，且，故為或或，總數有3個；

當時，則是1，2，3，的任意一個排列，且，故為或，總數有2個；

綜上，有序實數組的個數為，

（2）因為數組中的不同元素個數為2，

所以為中的任意一個.

當時，數在中必須位于之后，而在與之間只能出現中的某些數，所以只能作出現.

當時，可為從中任意選出個元素的排列，而則為其余個元素的全排列.所以與相對應的排列個數為：.

所以所有元有序實數組的個數記為，

則